数,考虑到所有基数小于等于w的序数的集合。
再回忆下序数的定义,仅包含所有小于自身的序数的集合,
为了方便之后的讨论,这个点可以被简约为:
如果a属于a,那么a是a的子集——也就是说,a的元素,小于a的序数都是a的元素,也小于a。
考虑到所有基数小于等于w的序数的集合x,根据序数的定义,该集合仅包含序数,且满足a∈x蕴含a?x,这个集合就也是一个序数。
因为这个序数大于所有可数序数,且仅大于所有可数序数,所以它是下一个无穷基数,
因为比它小的都是可数序数,不可能和它一一对应。
为什么?根据前面的定义,可数序数就是可以和w一一对应的序数,而这个集合的定义就是大于所有可数序数,与w一一对应的序数就小于它,而序数不能自己小于自己。
自我包含的集合有,但这样的关系无法模拟数,
这一点概括下就是
“基数小于等于k的所有序数构成的集合”,简记为h(k),h(k)也就直接指称k之后的下一个无穷基数,可以成为基数的后继运算,像是+1,
比如h(阿列夫n)=阿列夫n+1。
但从w开始用h(k)是无法得到第w个无穷基数——阿列夫w的,这是为什么?、
被启示者:因为阿列夫w是个强极限基数,h(k)就类似于有限数运算,无法得到w,自然也得不到阿列夫w。
——这里没提幂集,不要类比,给我定义推理。
被启示者:阿列夫w的前面不存在阿列夫w-1,自然也就不存在h(阿列夫w-1)=阿列夫w。
——极限基数的定义是,如果a小于k,那么h(a)小于k,于是阿列夫w为什么是极限基数,阿列夫w到底是什么?我们怎么定义阿列夫w?我们想要阿列夫w表示第w个无穷基数,可这是什么序数的集合?我们知道,w是所有自然数的集合,阿列夫n就表示第1+n个无穷基数,这些都是我们通过h(k)可以得到的,w是恰好大于所有自然数的序数,我们想要阿列夫w是恰好大于所有阿列夫n的无穷基数,而不是跳到别的什么东西,那这该是什么序数的集合?
被启示者:阿列夫n的集合?
——阿列夫n的集合不是一个序数,这里要引入一个之后会频繁用到的概念,并集。
{阿列夫n:n∈w}这个集合中只包含阿列夫数,连0123456都不包含,按序数就是都不大于0123456,显然不符合数。并集公理是说,给定一个集合a,都会存在一个集合b,b仅以a中元素的元素为元素,以这里的{阿列夫n:n∈w},其中元素的元素就是阿列夫n的元素,阿列夫1就是比它小的所有序数的集合,
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