个不动点和阿列夫0的差距还要更为巨大,阿列夫第n+1个不动点和阿列夫第n个不动点的差距要远比阿列夫第n个不动点和阿列夫第n-1个不动点的差距要更为巨大。)
每两个阿列夫不动点之间,都存在着一套“阿列夫谱系”,或者说“阿列夫阶层体系”,这些阿列夫阶层体系要一套比一套巨大。
第一套阿列夫阶层体系如下:
令w代指阿列夫0,w+1代指阿列夫1,w+2代指阿列夫2,……如此类推。
阿列夫阿列夫0就是w+w。
阿列夫阿列夫阿列夫……阿列夫0就是+……,也可以写作wxw。
后面还有xw+2、……、+w+1、……、x+1、……、、…………等等等等,最终极限是。
也可以如此类推,得到,接着反复如此类推,得到、xw、……等等等等。
最终极限是xw,可以写作w^w!你看出来了吗?是的,没错,这就是可数序数的那套操作!可数序数该怎么操作就怎么操作。
我们可以把可数序数的那套操作搬到这上面来,这就是第一套阿列夫阶层体系的起点,可以写作0&0(0)。
接着往上可以继续叠,可以有:阿列夫1、阿列夫2、……、阿列夫阿列夫0、……等等等等,这些阿列夫数的内部也可以存在一套或者多套类似可数序数那样的“序数体系”,不过这些序数体系也如同阿列夫阶层体系一般,一套比一套庞大。
接着我们再次定义,上述一段话里的阿列夫1=w+1、阿列夫2=w+2、…………如此类推,重复刚刚的操作,继续如同迭代可数序数一般迭代它们。
这就是第一套阿列夫阶层体系里的0&0(0)_0!
如此继续重复操作,上面还可以有阿列夫1、阿列夫2、……等等等等,令刚刚的阿列夫1=w+1、阿列夫2=w+2、…………,如此类推,又是如同迭代可数序数一般迭代它们。
这是0&0(0)_1!
如此类推可得0&0(0)_2、0&0(0)_3、…………等等等等,一系列阶层体系的等级。
接着就如同有限数无法得到阿列夫0,阿列夫数无法得到不可达基数一般,需要一种全新的增长方式(比如说有限数得到阿列夫0是靠集合,阿列夫得到不可达基数是靠插入大基数公理)才能得到的阶层,则被写作0&0(1)!
0&0(1)、0&0(1)_0、0&0(1)_1、……等等等等,都需要种类不同的全新的、一种比一种更为强大的增长方式才能得到!
如此类推(虽然说也类推不了),后续还有0&0(2)、0&0(3)、……等等等等一系列阶层,我们可以如同迭代阶层一般去迭代它们。
甚至是这样——
定义阶
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